Verwachte opbrengst, schade en risico

Wanneer je meedoet met een loterij heb je vaak de kans om een mooie prijs te winnen, maar je hebt ook de kans om je inleg te verliezen. Stel je hebt de mogelijk om een aan twee loterijen mee te doen, loterij A en loterij B. Bij beide loterijen wordt de uitkomst bepaalt door het opgooien van een munt waarbij je kop of munt kan gooien, een lot bij beide loterijen kost €25.-. Het enige verschil tussen beide loterijen is dat Loterij A €30 uitkeert wanneer er kop wordt gegooid en €20 wanneer er munt wordt gegooid. Loterij B keert €50 euro uit wanneer er kop wordt gegooid en €0 wanneer er munt word gegooid. De uitkomsten zijn staan in de volgende tabel weergegeven.

Verwachte opbrengst loterij A

De vewachte opbrengst is dat wat je gemiddeld zou verdienen als je heel vaak aan de loterij mee doet. Dit kan je bereken met behulp van de volgende berekening:

verwachte opbrengst = gemiddelde opbrengst − gemiddelde kosten

Als je honderd keer aan de loterij mee doet zal je 50 keer kop gooien en 50 keer munt, de kans op kop of munt is namelijk 50%. Bij loterij A verdien je hierdoor

50 × €30 = €1.500 en
50 × €20 = €1.000, dus
€1.500 + €1.000 = €2.500.

Je hebt 100 keer hebt meegedaan dus je gemiddelde opbrengst is

€2.500 ÷ 100 = €25

Je hebt 100 keer een lot gekocht voor €25, de gemiddelde kosten waren hierdoor dus ook €25. De verwachte opbrengst van Loterij A is: €25 - €25 = €0.

Verwachte opbrengst loterij B

We doen dezelfde berekening voor loterij B, ook hier koop je weer 100 loten. Je gooit weer 50 keer kop en 50 keer munt. Omdat je 50 keer kop gooit verdien je hier mee

50 × €50 = €2.500

Bij het gooien van munt verdien je €0 en ook dit gooi je 50 keer. De opbrengst van loterij B is dus €2.500. Omdat je 100 keer hebt meegedaan is je gemiddelde opbrengst

€2.500 ÷ 100 = €25

Ook bij loterij B zijn de gemiddelde kosten €25. De verwachte opbrengst van loterij B is

€25 − €25 = €0

In een tabel ziet dit er als volgt uit:

Verwachte schade

De verwachte schade die je bij loterij A hebt is €5, wanneer er namelijk munt wordt gegooid ontvang je €20 terwijl je €25 hebt ingelegd. De kans op deze schade is 50%. Met deze informatie kunnen we het risico berekeken, dit is de verwachte schade.

risico = mogelijke schade × kans op schade

In dit geval wordt het risico dus

€5 × 50% = €2,50

Ook voor loterij B kunnen we het risico berekenen. De schade bij loterij B is groter dan bij loterij A, bij loterij B krijg je namelijk €0 uitgekeerd wanneer er munt word gegooid. Wanneer dit gebeurd is de schade €25, je hebt namelijk €25 betaald voor het lot. De kans dat er munt word gegooid is 50%, hiermee is dus de kans op schade 50%. Het risico voor loterij B is

€25 × 50% = €12,50

Conclusie

Nu komt natuurlijk de keus, van welke loterij ga je een lot kopen? De verwachte opbrengst van beide loterijen is hetzelfde, hier hangt je keus niet vanaf. De keuze die je maakt hangt af van hoe risicoavers je bent. Wanneer je een grote risico aversie hebt kies je voor loterij A, hier is het risico het kleinst. Een risico avers persoon kiest zal niet voor loterij B kiezen ook al kan je hier meer mee winnen. Het risico bij deze loterij vind hij namelijk te groot.

Loterij C

Nu komt er een nieuwe loterij bij, loterij C. Deze loterij bied €80 wanneer er kop wordt gegooid en €0 wanneer er munt word gegooid. De verwachte opbrengst bij deze loterij berekenen we weer op dezelfde manier als we bij loterij A en B hebben gedaan.

Wanneer we 100 loten kopen voor deze loterij zullen we weer 50 keer kop gooien en 50 keer munt. Hierdoor wordt de gemiddelde opbrengst

(€80 × 50 + €0 × 50) ÷ 100 = €40

De gemiddelde kosten zijn €25. Hierdoor zijn de verwachte opbrengsten

€40 − €25 = €15

De mogelijke schade bij loterij C is €25 omdat je een lot koopt van €25 en je de kans hebt om €0 te winnen. Omdat ook hier de kans op deze schade 50% is, is het risico dat je loopt

€25 × 50% = €12,50

Wanneer je nu moet kiezen tussen loterij B of C zal iedereen kiezen voor loterij C. Het maakt hier niet uit hoe risico avers je bent. Het risico bij beide loterijen is namelijk €12,50 maar bij loterij C is de verwachte opbrengst hoger.

Wanneer je echter moet kiezen tussen loterij A of C wordt het lastiger en hier ligt de keuze voor een risicoavers persoon nog niet vast. Bij loterij A heb je een lager risico dan bij loterij C, maar bij loterij C zijn de verwachte opbrengsten hoger. Wellicht kan deze hogere verwachte opbrengst de risicoaverse persoon nog overhalen om toch dat lot te kopen.